受験算数アーカイブス
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『偏差値』はどうやって計算するの?



中学受験を始め,高校受験・大学受験でもおなじみの『偏差値』.
「模試で偏差値70出した」となると,「すごく賢い!灘中学も合格圏内!」ということになりますが,そもそも偏差値って何なのでしょうか?



偏差値というのは簡単に言うと「平均を50としたとき,自分は平均からどれくらい離れているか」を数値化したものです.

具体的な計算方法は次の通りです.


偏差値=(得点−平均点)÷標準偏差×10+50


平均点は中学受験算数でもおなじみの通り,「全体の合計÷人数」です.

標準偏差』というのは大学で学ぶ統計学に登場しますが,簡単に式で表すと,


(標準偏差)2=(得点−平均点)2の合計÷人数


となります.(標準偏差)2のことを『分散』と言います.



偏差値の計算例


20人のクラスで10点満点のテストを行った結果,点数が以下の通りだったとしましょう.


点数人数
2点1人
3点2人
4点4人
5点6人
6点5人
7点1人
8点1人

上の表から平均点を求めると,
平均点=(2×1+3×2+4×4+5×6+6×5+7×1+8×1)÷20=4.95点
となります.


また,
標準偏差2={(2−4.95)2×1+(3−4.95)2×2+(4−4.95)2×4+(5−4.95)2×6+(6−4.95)2×5+(7−4.95)2×1+(8−4.95)2×1}÷20=1.9475
と計算できるので,
標準偏差=√1.9475=1.3955・・・≒1.40
となります.


平均と標準偏差が分かったので,偏差値が求められます.


得点が2点のときの偏差値は,
(2−4.95)÷1.40×10+50≒28.86

得点が3点のときの偏差値は,
(3−4.95)÷1.40×10+50≒36.03

得点が4点のときの偏差値は,
(4−4.95)÷1.40×10+50≒43.19

得点が5点のときの偏差値は,
(5−4.95)÷1.40×10+50≒50.36

得点が6点のときの偏差値は,
(6−4.95)÷1.40×10+50≒57.52

得点が7点のときの偏差値は,
(7−4.95)÷1.40×10+50≒64.69

得点が8点のときの偏差値は,
(8−4.95)÷1.40×10+50≒71.86


となります.


平均点は4.95点なので,得点が5点だとほぼ偏差値は50となります.点数が上がると偏差値も上がり,点数が下がると偏差値も下がることが分かります.


※ちなみに平均点がものすごく低いのに自分だけものすごく高い点数をとった場合,偏差値が100を超えることもあります.(逆にマイナスになることもあり得ます)



偏差値の注意点


偏差値を計算するときには忘れてはならない重要なことがあります.

それは偏差値の計算は,データの分布が『正規分布』に従うことを前提としている,ということです.


正規分布って何?と思われると思いますが,ある事象についてデータを収集したとき,そのデータの分布はデータ数が多ければ多いほど正規分布に近づくと言われています.実験での測定誤差や工場での製品生産の寸法誤差なども正規分布曲線に従うものとして計算することが多いです.


正規分布曲線は平均と標準偏差の値によって決まりますが,偏差値というのは「平均が50,標準偏差が10」の場合の正規分布のことです.つまり先ほど紹介した偏差値を求める式「偏差値=(得点−平均点)÷標準偏差×10+50」とはつまり,テストの点数分布を「平均50,標準偏差10の分布」になるよう変換する式であると言えます.


平均50,標準偏差10の正規分布曲線を図で表すと次の通りです.


横軸が偏差値,縦軸は頻度を表しています.この場合,偏差値50の頻度が最も高く,平均から離れるにつれ,頻度も下がるという直感的にもイメージしやすい曲線となっています.


では,上のテスト結果を元に,実際の得点の分布と正規分布曲線との比較をしてみましょう.


青い棒グラフが実際の得点の分布,赤い線が正規分布曲線を示しています.図を見て分かるように,このテスト結果の分布は結構正規分布に近い分布になっていることが分かります.


しかし,テストによっては正規分布とは異なる分布になることがあります(得点のピークが二つできる場合など).その場合「偏差値」の数値は単なる参考値になり,数学的な意味は薄くなります.


模試が終わって成績表を見たとき,自分の偏差値を確認することはあっても,点数の分布が正規分布になっているかを確認することなんてまずないのではないでしょうか?日本では絶対的な地位を誇る「偏差値」ですが,受験者の点数の分布によっては必ずしも絶対的に正しい指標とはならないことには注意が必要です.


※ちなみに各中学の偏差値はこちらのページを参照ください(日能研入試情報より)



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