速さと比の演習(平均の速さ)
平均の考え方についてはこちら(『平均』の計算に注意！)で紹介していますが，速さと比の分野にも「平均の速さ」というものが登場します．ここでは平均の速さについて考えてみます．
ではさっそく問題です．
行きは時速5km，帰りは時速3kmなので，(5＋3)÷2＝4 → 時速4km，とすると間違いです！
こちら(『平均』の計算に注意！)では，男女の平均点を求めるときに「足して2で割る」のがいけないのは，「男女の人数が同じではない」からでした．
ではこの問題の場合はどうでしょう？同じ道を往復しているので行きも帰りも「道のり」は同じです．なら，この場合は足して2で割ってもいいのでは？？と考えてしまいそうですが，ちょっと待ってください．行きと帰りではかかった「時間」が違います．
平均の速さの求め方は次の通りです．
平均の速さ＝道のりの合計÷時間の合計
平均の速さだからといって特別な公式はありません．速さの求め方と基本的には同じです．
この問題の場合，「道のりの合計」は
12×2＝24kmです．
「時間の合計」は往復それぞれにかかった時間を合計します．
行き：12÷5＝2.4時間
帰り：12÷3＝4時間
よって時間の合計は2.4＋4＝6.4時間です．
以上より，平均の速さは，
24÷6.4＝3.75 → 時速3.75kmとなります．
さて，『平均の速さ』が真価を発揮するのは次のような問題の場合です．
行きと帰りでは帰りの方が時間が長くなっています．ということは，ここから，「帰りの方が登り道が長かった」ということが言えます．
これはつまり，Ａ～峠と峠～Ｂでは峠～Ｂの方が距離が長いということです．
この様子を図に表してみましょう．
峠～Ｂの途中で，Ａ～峠と距離の等しい地点をＣと置いてみます．
するとＡ→峠→ＣとＣ→峠→Ａにかかった時間は等しくなるので，往復の時間差(4－3.5＝0.5時間)はＣ～Ｂ間の往復で生じたことになります．
Ｃ→ＢとＢ→Ｃの速さの比は3：2なので時間の比は2：3となります．そこで，かかった時間をそれぞれ②，③と置くと，
③－②＝①が0.5時間にあたることになります．
①＝0.5時間なので，
Ｃ→Ｂに要した時間は②＝0.5×2＝1時間です．
Ｃ→Ｂは時速3kmで進んだので，Ｃ～Ｂ間の距離は
3×1＝3km となります．
一方，Ａ→峠→Ｃに要した時間は3.5－1＝2.5時間になります．
Ａ～峠と峠～Ｃは同じ距離なので，
となります．
よってＡ→峠に要した時間は
よって，
Ａ～峠の距離は2×1.5＝3km となります．
峠～Ｃの距離はＡ～峠と等しいので，3kmです．
以上をまとめると，Ａ～Ｂ間の距離は
3＋3＋3＝9kmとなります．
ずいぶん長くなりましたが，正攻法でいくと以上のような解答になると思います．
もちろん，問題によってはこのような考え方も大事です．（特に『Ａ～峠より峠～Ｂの方が距離が長い』ことを考えるという点）
ただし，この問題の場合は『平均の速さ』を用いると，もっと簡単に解くことができます．
この問題では，登りと下りで歩く速度が異なっていますが，『登りと下りの平均の速さ』を求めてみましょう．
登りは時速2km，下りは時速3kmなので，最小公倍数の6kmの区間で計算してみます．
この区間の往復距離：6×2＝12km
この区間の往復時間：6÷2＋6÷3＝5時間
よって登りと下りの平均の速さは
12÷5＝2.4 →時速2.4km となります．
よって，この問題は「時速2.4kmでずーっと歩き続けると，3.5＋4＝7.5時間で往復できた」と言い換えることができます．
往復の距離は2.4×7.5＝18kmなので，片道は18÷2＝9kmと求めることができるのです．
このように，平均の速さを利用することで，ずっと素早く解答することができます．
ただし，このような解答ができるようになるには「平均の速さ」に対する深い理解が必要です．
平均の速さの意味をよく理解していないと，この問題の場合，平均の速さが時速2.4kmと求まった後に次のようなミスをしがちです．
行きは3.5時間かかったので2.4×3.5＝8.4km→答：8.4km (誤)
あるいは，帰りの時間は4時間だったので，2.4×4＝9.6km ・・・あれ？行きで計算した距離(8.4km)と一致しない・・・？？
これらの間違いの原因に気付けないうちに，平均の速さをむやみに使うのは危険かもしれません．
ちなみにこの間違いは「登り道と下り道の長さが同じ」という誤解によって生じます．
Ａ→峠→Ｂ→峠→Ａと往復したときには全体として「登り道と下り道の長さが同じ」すなわち平均の速さが使用可能ですが，
Ａ→峠→Ｂ，あるいはＢ→峠→Ａの片道では「登り道と下り道の長さが同じではない」ので平均の速さは使えないのです．